我們知道，計(jì)算機(jī)只認(rèn)識(shí)0和1[為什么計(jì)算機(jī)只認(rèn)識(shí)0和1]，現(xiàn)實(shí)世界中的內(nèi)容，無(wú)論是文字、音頻、視頻等等想要通過計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)、計(jì)算或者展示，都需要轉(zhuǎn)換二進(jìn)制。

就像你剛剛唱的旋律，想要存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中也是要轉(zhuǎn)成二進(jìn)制的。

那么，最簡(jiǎn)單的一個(gè)數(shù)字，想要在計(jì)算機(jī)中表示出來(lái)，就需要通過一定的手段將他轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制。而這種手段我們稱之為編碼方式。

原碼

相信很多人在上初中的時(shí)候都學(xué)過很多方式把一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)成二進(jìn)制數(shù)，比如我們可以很快速的知道10的二進(jìn)制可以表示成 1010 。

但是初中老師沒有告訴我們的是：-10 如何表示呢?

為了在計(jì)算機(jī)中想辦法表示負(fù)數(shù)。于是人們想出來(lái)一種辦法：

在二進(jìn)制數(shù)值前面增加一位符號(hào)位(即最高位為符號(hào)位)：正數(shù)該位為0，負(fù)數(shù)該位為1，其余位表示數(shù)值的大小。

這樣，如果我們想要10的話，那么就應(yīng)該是：0 1010，想要表示-10的話，就應(yīng)該是1 1010。

這種編碼方式被稱之為原碼，原碼的優(yōu)點(diǎn)比較明顯，那就是非常的簡(jiǎn)單直觀，很容易被人理解。

使用原碼，解決了十進(jìn)制在計(jì)算機(jī)中的存儲(chǔ)問題，但是計(jì)算機(jī)中還有一個(gè)重要的操作那就是計(jì)算。使用原碼如何計(jì)算呢?

首先，原碼對(duì)于加法的運(yùn)算是沒什么問題的，如5 + 2 ：

對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制運(yùn)算：0 0101(原) + 0 0010(原) = 0 0111(原) 其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制是 7。

加法沒什么問題，那么我們?cè)僭囍迷a來(lái)計(jì)算減法，例如我們想要計(jì)算10 - 2：

那么就是 0 1010(原) - 0 0010(原) = 0 1000(原)，那么這個(gè)二進(jìn)制對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制剛好是8。可見原碼計(jì)算減法沒有問題的?

但是，以上運(yùn)算只是我們一廂情愿的算法，其實(shí)計(jì)算機(jī)算術(shù)邏輯單元(ALU)并沒有直接進(jìn)行減法運(yùn)算，對(duì)于減法，其實(shí)也是用加法器來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

也就是說，計(jì)算機(jī)中的所有的減法運(yùn)算都需要轉(zhuǎn)換成加法運(yùn)算，那么10 - 2其實(shí)就是10 + (-2)：

他們的二進(jìn)制 0 1010(原) + 1 0010(原) = 1 1100(原) ，得到的結(jié)果考慮他的符號(hào)位的話，這個(gè)值是-12，這明顯是錯(cuò)誤的!!!

可見，原碼雖然對(duì)于人類來(lái)說是比較簡(jiǎn)單直觀的，但是對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說卻帶來(lái)了很大的計(jì)算難度。

反碼

因?yàn)樵a雖然容易被人理解，但是給計(jì)算機(jī)的計(jì)算帶來(lái)了一定的困難，尤其是減法的運(yùn)算。所以，人們發(fā)明出反碼來(lái)解決減法運(yùn)算的問題。

反碼是基于原碼計(jì)算得來(lái)的，表示方式是：正數(shù)的反碼是其本身。負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號(hào)位不變，其余各個(gè)位取反。

如，10 的 原碼為 0 1010 ，那么他的反碼同樣也是 0 1010 。

如，-2 的原碼為 1 0010 ，那么他的反碼為 1 1101 。

有了反碼之后，二進(jìn)制的運(yùn)算就可以帶著符號(hào)位一起了。并且可以直接將減法轉(zhuǎn)換成加法進(jìn)行運(yùn)算。但是使用反碼進(jìn)行運(yùn)算，需要注意以下幾點(diǎn)：

反碼運(yùn)算時(shí)，其符號(hào)位與數(shù)值一起參加運(yùn)算。反碼的符號(hào)位相加后，如果有進(jìn)位出現(xiàn)，則要把它送回到最低位去相加(循環(huán)進(jìn)位)。用反碼運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果亦為反碼。在轉(zhuǎn)換為真值時(shí)，若符號(hào)位為0，數(shù)位不變;若符號(hào)位為1，應(yīng)將結(jié)果求反才是其真值。

如 10 - 2 的在計(jì)算時(shí)需要轉(zhuǎn)成 10 + (-2)進(jìn)行計(jì)算：

0 1010(反) + 1 1101(反) = 0 0111(反) + 1(進(jìn)位) = 0 1000 ，因?yàn)榉?hào)位是0，表示正數(shù)，所以他對(duì)應(yīng)的原碼也是0 1000(原)，則十進(jìn)制值為8。

那么，我們?cè)賮?lái)計(jì)算法 2 - 10 ，把2 - 10轉(zhuǎn)換成 2 + (-10)進(jìn)行計(jì)算：

0 0010(反) + 1 0101(反) = 1 0111(反)，因?yàn)榉?hào)位是1，表示負(fù)數(shù)，所以他對(duì)應(yīng)的原碼也是1 1000(原)，則十進(jìn)制為-8。

以上，我們通過幾個(gè)例子展示了反碼，我們知道使用反碼進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候，可以帶著符號(hào)位一起計(jì)算，只需要在計(jì)算之后再將反碼轉(zhuǎn)換成原碼，再計(jì)算其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制就可以了。

但是，反碼運(yùn)算還是有一個(gè)小問題，我們看一下下面這個(gè)例子：

我們嘗試計(jì)算10 - 10 ，即 10 + (-10)：

0 1010(反) + 1 0101(反) = 1 1111(反)，因?yàn)榉?hào)位是1，表示負(fù)數(shù)，所以他對(duì)應(yīng)的原碼也是1 0000(原)，則十進(jìn)制為-0。

雖然很多人夠能夠理解+0和-0其實(shí)是一樣的，但是0帶符號(hào)仍然是沒有任何意義的。

如果一臺(tái)計(jì)算機(jī)有8位，我們想要用反碼表示0的話，就有0000 0000和 1111 1111兩種方式，分別表示+0和-0。

補(bǔ)碼

雖然反碼解決了減法的問題，但是對(duì)于0的符號(hào)問題卻沒有解決，于是補(bǔ)碼出現(xiàn)了。

補(bǔ)碼是在原碼和反碼的基礎(chǔ)上衍生出來(lái)的，補(bǔ)碼的表示方法是：正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上， 符號(hào)位不變， 其余各位取反，最后+1。(即在反碼的基礎(chǔ)上+1)

補(bǔ)碼計(jì)算的規(guī)則：

補(bǔ)碼運(yùn)算時(shí)，其符號(hào)位與數(shù)值一起參加運(yùn)算。補(bǔ)碼的符號(hào)位相加后，如果有進(jìn)位出現(xiàn)，則進(jìn)位被舍棄。用反碼運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果亦為補(bǔ)碼。在轉(zhuǎn)換成原碼時(shí)，如果是正數(shù)，其補(bǔ)碼就是原碼;如果是負(fù)數(shù)，該補(bǔ)碼的補(bǔ)碼就是其原碼。

我們?cè)賮?lái)用補(bǔ)碼的方式，來(lái)計(jì)算下10 - 10 ：

01010(補(bǔ)) + 10110(補(bǔ)) = 0 0000 (補(bǔ))，因?yàn)榉?hào)位是0，表示正數(shù)，所以他對(duì)應(yīng)的原碼也是0 0000(原)，則十進(jìn)制為0。

有了補(bǔ)碼，0的表達(dá)方式就唯一了，如果是8位的話，那么就是固定的0000 0000。

如果使用原碼或者反碼，8位的原碼或者反碼能表示的最小數(shù)字是-127，而使用補(bǔ)碼，能表示的最小數(shù)字是-128。

可見，使用補(bǔ)碼, 不僅僅修復(fù)了0的符號(hào)以及存在兩個(gè)編碼的問題, 而且還能夠多表示一個(gè)最低數(shù)。這就是為什么8位二進(jìn)制, 使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-128, 127]。

使用補(bǔ)碼的原因

通過以上介紹，我們知道了原碼、反碼和補(bǔ)碼的一些知識(shí)，我們嘗試著總結(jié)下為什么計(jì)算機(jī)中會(huì)最終選擇補(bǔ)碼來(lái)進(jìn)行存儲(chǔ)和計(jì)算數(shù)字。

1、計(jì)算機(jī)的運(yùn)算器為了實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，傾向于在運(yùn)算過程中將減法轉(zhuǎn)換成加法，統(tǒng)一使用加法運(yùn)算器進(jìn)行計(jì)算。想要把減法轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算，就需要在運(yùn)算時(shí)帶著符號(hào)一起運(yùn)算，而反碼和補(bǔ)碼可以帶符號(hào)位一起運(yùn)算，也就方便了將減法轉(zhuǎn)換為加法。

2、采用補(bǔ)碼，可以解決編碼中有+0和-0兩種表示0的方式。

3、補(bǔ)碼表示的數(shù)字范圍要比原碼和反碼大。如8位2進(jìn)制，使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-128, 127]。